Messproblem

Ein Messprozess beschreibt eine physikalische Wechselwirkung zwischen bestimmten Eigenschaften des Messobjekts (z.B. Ort, Impuls, Spin) und dem Zustand (der "Zeigerstellung") der Messapparatur.

Wenn ein Messprozess auf makroskopischer Ebene unter denselben Bedingungen wiederholt wird, stellt sich immer dasselbe Ergebnis ein. Die Anfangsbedingungen determinieren also ein notwendiges Messergebnis.

Bei einem Messprozess auf mikroskopischer Ebene kann es hingegen vorkommen, dass wiederholte Messungen unter exakt denselben Bedingungen zu verschiedenen Messergebnissen führen. Die möglichen Messergebnisse lassen sich in der gegenwärtigen Quantenmechanik nur noch als Wahrscheinlichkeiten in Form einer Wellenfunktion Ψ angeben:

Die theoretische Deutung dieses mikroskopische Messprozess erfordert nach Werner Heisenberg[1] drei Schritte:

1.    Präparation: Die Wellenfunktion Ψ repräsentiert eine Grundgesamtheit von Teilchen*.

2.    Wechselwirkung: Das physikalische System, bestehend aus Messobjekt* und Messapparat, durchläuft eine zeitliche Entwicklung.

3.    Registrierung: Das Messergebnis ("die Zeigerstellung") wird bestimmt.

Das Messproblem besteht nun in der Frage, auf welche Weise das Messergebnis der Messapparatur bestimmt wird. Wird es vielleicht bereits durch die (1) Präparation bestimmt und ist die Quantenmechanik gegenwärtig noch unvollständig und in Wahrheit doch deterministisch? Oder wird das Messergebnis diskontinuierlich durch die (2) Wechselwirkung von Messobjekt und Messapparat und in einem sogenannten Kollaps der Wellenfunktion festgelegt? Oder wird zum Zeitpunkt der (3) Registrierung gar nicht ein einziges, sondern in jeder der vielen-Welten jedes mögliche Messergebnis bestimmt?

1. Der von-Neumann-Messprozess

John von Neumann formalisierte in seinem Werk Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Werner Heisenbergs theoretische Deutung des mikroskopischen Messprozesses. Dieser Formalismus ist als von-Neumann-Messprozess bekannt:

1.1. Präparation

In der Quantenmechanik werden die Eigenschaften des mikroskopischen Messobjekts (z.B. Ort, Impuls, Spin) durch die Eigenwerte respektive Eigenvektoren von hermiteschen Operatoren repräsentiert. Sei  beispielsweise der Hermetische Operator der physikalischen Eigenschaft "Spin" und an seine möglichen Eigenwerte (Spin-up, Spin-down, usw.). Dann bilden die normierten Eigenvektorenn die Basisvektoren des so definierten Hilbertraums Hq bzw. Messobjekts.

So kann mit Hilfe der Wellenfunktion Ψ jeder beliebige Zustand dieses Messobjekts dargestellt werden:

= cn |øn

Für jeden Zustand ist die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Messwert an zu erhalten, durch das Absolutquadrat des Zustandsvektors gegeben (Bornsche Regel).

1.2. Messung

Die (makroskopische) Messapparatur wird ebenso durch Basisverktoren {|Mn} eines entsprechenden Hilbertraums HM dargestellt. Wenn das Messobjekt vor der Wechselwirkung im Zustand n war, wird sein Zustand danach |Mn durch die die "Zeigerstellungen" n des Messgerätes angezeigt. Dieses Messgerät soll also den Zustand des präparierten Systems nach der Wechselwirkung registrieren. Dafür wird zu Beginn der Messung definiert, dass das Gerät in einem Zustand |M0 sei, dem Zustand, der anzeigt, dass noch nicht gemessen wurde. Die Wechselwirkung von System und Messgerät ergibt entsprechend der Schrödinger-Zeitentwicklung nach t dann das folgende Schema:

n |M0   à|øn |Mn

(Anfangszustand) t  (Endzustand){\displaystyle \underbrace {|\phi _{n}\rangle |M_{0}\rangle } _{\text{Anfangszustand}}\;{\xrightarrow[{}]{\quad t\quad }}\quad \underbrace {|\phi _{n}\rangle |M_{n}\rangle } _{\text{Endzustand}},}

Gemäß diesem Schema ergibt sich eine eindeutige Zuordnung von möglichen Zuständen des Messobjekts und den möglichen Zeigerstellungen des Messgerätes.

2. Das Messproblem

Beispiel: Das Messobjekt sei zu Beginn im Zustand 1 und dass Messgerät im Zustand |M0⟩. Nachdem die beiden Objekte in t wechselwirken, ist das Messgerät im Zustand |M1⟩ (Die Zeigerstellung ändert sich):

1 |M0 à |ø1 |M1

Wenn der Anfangszustand des Messobjekts aber einer Überlagerung (Superposition) von verschiedenen Eigenzuständen ist, kann durch die Wechselwirkung mit dem Messgerät auch eine Superposition von Zuständen des Messgerätes resultieren:

(c11 + c22|M0 à c1|ø1 |M1 +c2 |ø2 |M2

Der Endzustand entspricht also einer Superposition von Messobjekt und Messapparat, weshalb nicht mehr klar ist, welcher Zeigerstellung der Endzustand nach der Wechselwirkung entsprechen soll (Vergleich: Schrödingers Katze). Lediglich nach der Registrierung ist klar, ob |M1 oder ob |M2 vorliegt. Dies ist der Kern des Messproblems.

Nach Tim Maudlin[2] und angelehnt an Heisenbergs 3-Schritte Deutung lässt es sich auch als folgendes Trilemma formalisieren:

1.    Die Quantenmechanik ist vollständig, d.h. der Eigenvektor |ø1 bestimmt alle Eigenschaften des Messobjekts.

2.    Der Eigenvekto1 unterliegt einer linearen zeitlichen Dynamik (etwa) gemäß der Schrödinger-Zeitentwicklung.

3.    Das Messergebnis wird eindeutig bestimmt. D.h. Nach der Registrierung zeigt der Zeiger eines der möglichen Messergebnisse an (z.B. |M2).

Die Konjunktion aus diesen drei Behauptungen ist inkonsistent, so dass eine Lösung des Messproblems nur darin bestehen kann, mindestens eine der drei Aussagen zu verneinen:

Die erste Aussage fällt bei den Theorien verborgener Parameter weg. Diese Theorien beruhen auf der Annahme, dass in der zuvor vorgestellten Standardinterpretation der Quantenmechanik einige realistische Parameter nicht vorkommen. Die De-Broglie-Bohm-Theorie ist so eine Theorie, wobei sie exakt dieselben Vorhersagen wie die Standardinterpretation trifft. Es gibt aber auch TvV, die empirisch von der Standardinterpretation abweichen. Grundsätzlich werden lokale und nicht-lokale verborgene Variablen unterschieden. Theorien mit lokalen Variablen erfüllen die Bellsche Ungleichung. Da die Quantenmechanik aber gemäß dem EPR-Paradoxon die Belsche Ungleichung verletzt, kann die Standard-interpretation nur im Sinne von nicht-lokalen Variablen unvollständig sein.

Die zweite Aussage kann auf zwei Weisen bestritten werden: Erstens durch die Heisenbergsche Kopenhagener Deutung, in der zu der linearen Schrödinger-Zeitentwicklung eine zweite, nicht-lineare Entwicklung hinzugefügt wird. Und zweitens durch die GRW-Interpretation, in der die Schrödinger-Zeitentwicklung durch eine nicht-lineare Entwicklung ersetzt wird. Dabei deutet Kopenhagen den diskontinuierlichen Kollaps der Wellenfunktion abstrakt und GRW realistisch.

Die dritte Behauptung wird durch die Viele-Welten-Interpretation negiert. Nach ihrem Urvater Hugh Everett III. wird bei der Registrierung nicht genau eines, sondern in Vielen-Welten alle möglichen Messergebnisse bestimmt. Wenn sich in unserem Beispiel also Messobjekt und Messaparat in einer Superposition befinden, spaltet sich bei der Registrierung das gesamte Universum in zwei Welten auf, und in einer ist der Zustand |M1 und in der anderen |M2 verwirklicht.

Einzelnachweise

[1] Werner Heisenberg: Physik und Philosophie (1959)

[2] Tim Maudlin: Three measurement problems (1995)

Stand: 2018

Kommentare: 1
  • #1

    WissensWert (Samstag, 21 Juli 2018 02:31)

    https://www.spektrum.de/lexikon/physik/messprozesse-in-der-quantenmechanik/9640


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